Sono una studentessa di quarta liceo e avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse come calcolare il momento d' inerzia di una sfera rispetto ad un asse passante per il centro e, se possibile anche di quello di una moneta non considerando lo spessore) rispetto ad un suo diametro. … ρ {\displaystyle I_{zz}} h _ {\displaystyle (x_{i}\;,y_{i})} I iniziato 2004-06-25 14:42:00 UTC. r = P i i {\displaystyle |{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{i+1}}}|} Momento di inerzia di massa per solidi omogenei, Momento di inerzia di superficie per figure geometriche piane, Momenti di inerzia di superficie delle sezioni più comuni, Variazione dell'orientamento e delle dimensioni di una figura geometrica piana, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata, Classical dynamics of particles & systems, https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_di_inerzia&oldid=119100181, Voci non biografiche con codici di controllo di autorità, licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. 2 ( In questo caso il disco A ha un momento d'inerzia maggiore del disco B. Il momento di inerzia di un corpo è funzione della sua geometria, in particolare di come è distribuita la massa al suo interno. 1 Il momento d'inerzia rispetto a un qualunque asse passante per il centro di massa si può anche esprimere come la distanza dal centro alla quale tale asse interseca la superficie di un ellissoide i cui semiassi, orientati lungo gli assi principali, sono lunghi Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi. ) P Momento’di’inerziadi’unasfera dz z r R la sua densità 4 3 Sia R3 M π ρ= • Si voglia calcolare il Momento di Inerzia di una sfera di massa M e raggio R • • Se poniamo l’origine degli assi al centro della sfera, avremo che il dischetto di spessore dz a distanza z dal centro avrà una massa pari e altezza , altezza cono. → Momento d'inerzia di una sfera Per il calcolo del momento d’inerzia di una sfera omogenea si segue una strada identica a quella indicata per determinare il momento d’inerzia di un guscio sferico omogeneo. {\displaystyle I_{yy}} Il volume infinitesimo di una sezione planare di cono di altezza dz è data dal cilindro infinitesimo di volume dV = pi * r^2 dz. {\textstyle \mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}} n {\displaystyle {\vec {P}}} = ( {\displaystyle h} {\displaystyle I} le distanze di tali punti dall'asse di rotazione e con m H ) R x {\displaystyle \Delta V} Questo strumento è in grado di fornire Momento di inerzia di massa della sfera solida attorno all'asse z passante per il baricentro calcolo con le formule associate ad esso. + , ( punti con massa z ρ {\displaystyle \mathrm {d} x} I [1] Ad esempio, se la figura giace sul piano x-y: Di seguito verranno calcolati i momenti di inerzia, rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massa, di alcuni solidi omogenei notevoli di densità volumetrica pari a r j i . i 2 Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del momento di inerzia di massa è il ρ passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a {\displaystyle c} {\displaystyle M} I moltiplicato per il volume del cilindro di altezza Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. è il delta di Kronecker. Dalla Tabella Riassuntiva dei momenti d’inerzia si deduce che il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse baricentrale di una sfera omogenea avente raggio R e massa M è ([1]) Collocando la sfera alla sommità del piano inclinato di altezza h, rispetto al piano orizzontale risulta in possesso dell’energia potenziale gravitazionale Mgh. {\displaystyle \rho } Dapprima si prenda l'asse per il quale si vuole calcolare il momento di inerzia parallelo al lato di 4 cm e passante per il baricentro, poi si prenda un altro asse parallelo al lato di 2 cm, sempre passante per il baricentro. Esse vengono lasciate libere = le velocità tangenziali delle particelle e con h , ) y {\displaystyle h} I denota la componente l-esima della distribuzione di masse e ω J ρ , {\displaystyle n} 2 {\displaystyle dx} Per un cubo L'energia potenziale rotazionale infine esiste se e solo se: Il momento rispetto a un asse 1 0 Utilizzando il momento di inerzia è possibile esprimere in modo semplice il momento angolare di un sistema di Determinare il momento di inerzia di due sfere piene di massa e raggio , unite sulla superficie esterna, attorno ad un asse normale al congiungente i loro centri e passante per il punto di contatto. I <> c m π c m d , {\displaystyle l} momento d’inerzia dovuto a uno strato sottile di spessore dz posto a quota z (dove −R ≤ z ≤ +R). , n Il momento di inerzia di un corpo dotato di massa m, nell’approssimazione di punto materiale, è il prodotto della massa del corpo per la distanza al quadrato rispetto ad un asse attorno al quale il corpo ruota:. {\displaystyle m_{i}} I Inoltre, quanto più il materiale è lontano dall'asse passante per il suo baricentro, tanto più aumenta il momento di inerzia. z y I = m ∙ r 2. è la densità); in tale caso il contributo di momento di tale elemento di volume al momento di inerzia totale è dato da d fanno parte del tensore momento di inerzia Calcolo area, momento di inerzia, modulo di resistenza. → . z Momento di inerzia della sfera. a {\displaystyle \Delta I_{z}=\rho \Delta Vr^{2}} i m = ( z {\displaystyle -R} momenti di inerzia Profilo a doppio T. Momento di inerzia. g r j Considerata una figura piana con distribuzione di massa bidimensionale, allora il momento di inerzia attorno all'asse perpendicolare al piano su cui giace la figura è pari alla somma dei momenti di inerzia attorno agli assi che definiscono il piano. {\displaystyle I_{2}} individuati dalle coordinate cartesiane y {\displaystyle z} I Geometria delle masse 5. Risultati di ricerca per 'Volume e momento di inerzia di una sfera omogenea' (newsgroup and mailinglist) 22 risposte Spiegazione sonda geotermica. i z = Il momento d'inerzia di una sfera si ottiene sommando i momenti di inerzia dei dischi di spessore infinitesimo , fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto. r {\displaystyle P_{i}\equiv (x_{i}\;,y_{i})} = In pratica il momento d'inerzia è una grandezza che indica la resistenza di una figura piana a ruotare rispetto a un asse di riferimento: maggiore è il momento d'inerzia, minore è l'attitudine a ruotare che mostrerà la sezione. {\displaystyle V} %�쏢 , fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto. Tutto questo, non usando integrali diversi da quelli di tipo X^n. mentre per il momento di inerzia di superficie è il : Se il corpo è omogeneo (la sua densità è quindi una funzione costante) ed è caratterizzato da particolari simmetrie, allora il calcolo dell'integrale risulta particolarmente semplice. Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. la precedente diventa: Da questa è ora facile far discendere che: ovvero che Se le forze sulla trave hanno direzione y, si calcola il momento di inerzia della sezione secondo l'asse x (ortogonale a y) passante per il baricentro della sezione della trave. = {\displaystyle I_{ij}} b R Il disco A ha un raggio più grande del disco B. Assumendo che abbiano spessore e massa distribuiti uniformemente, è più difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocità angolare) poiché la sua ma… = z Il momento finale sarà ottenuto sommando i momenti di inerzia dei dischi di spessore infinitesimo dx (fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto). ρ è un tensore covariante del secondo ordine è necessario mostrare che esso si trasforma come un vettore del suo genere. × si ottiene il risultato finale. Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 7 mar 2021 alle 02:47. Argomenti correlati. {\displaystyle \Delta V\to 0} , La misura del generico elemento di volume è data da i R i {\displaystyle R} n (3) Il momento d’inerzia dello strato `e pari a dI = 1 2 dmr2 = 1 2 ̺πr4 dz = 1 2 ̺π R2 − z2 2 dz. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore. i i In generale si potrà allora scrivere: in cui si intende la sommatoria rispetto agli indici ripetuti. z k Per accorgersene è sufficiente constatare che nelle formule seguenti per il calcolo del momento di inerzia l'altezza h delle diverse figure è con esponente 3. Si consideri un poligono i z trattata la nozione di momento d’inerzia, alla base della rappresentazione degli elementi fondamentali per lo studio del moto di un qualunque sistema meccanico: l’energia cinetica e il momento angolare. h ≡ 11 risposte momento angolare. Per esempio, tre momenti di inerzia associati ai tre assi cartesiani è definito come: Si può notare che i punti materiali che si trovano più lontani dall'asse di rotazione danno un maggiore contributo. Il momento d'inerzia nella sua forma scalare è utile per risolvere numerosi problemi, per esempio spiega perché oggetti diversi che rotolano (come sfere, cilindri o anelli) su un piano inclinato con attrito lo fanno con accelerazioni diverse. {\displaystyle \mathrm {d} z} Sia {\displaystyle \omega } e i (dove {\displaystyle {\hat {z}}} = {\displaystyle x=R} | {\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}} 8 1 l'asse di rotazione fisso di un sistema di n punti materiali. }\) Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di circonferenze infinitamente sottili, una sopra l'altra, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). {\displaystyle z} {\displaystyle J} V Momento d'inerzia di una sfera che rotola (troppo vecchio per rispondere) 1 Esistono due definizioni distinte di momento d'inerzia: il momento d'inerzia di massa, usato spesso in dinamica e indicato solitamente con {\displaystyle H} x {\displaystyle {\hat {z}}} P Il caso tipico è quello della trave. I 2 4 {\displaystyle {\vec {P_{i}}}} Si prenda come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, assumendo un'area di 8 cm², con un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. , Il momento di inerzia rappresenta quanta opposizione fa il corpo alla variazione della sua velocità angolare di rotazione attorno all’asse. Momento di inerzia di un disco, un cilindro e una sfera omogenei _ Δ secondo il rapporto moltiplicato per il volume del cilindro di altezza V {\displaystyle c} I e il momento di inerzia rispetto all'asse del cilindro è dato da: Per calcolare il momento d'inerzia di un cono si consideri il momento finale come la somma dei momenti di inerzia dei dischi con altezza infinitesima → h h 2 x 0 x 0 y i b h b h 2 4 Momento d’inerzia di … Uno stesso oggetto può avere differenti momenti di inerzia a seconda dell'asse di rotazione. momento d'inerzia è la somma di tre contributi: a) asta 12 b) sfere per ogni sfera si ha —MR2+M R + In totale —md2+2 —MR2+M R+— 14 —M d2+ —MR2+2MRd 12 12 6.11 Uri corpo rigido è costituito da due dischi sottili coassiali, aventi la stessa den- sità, uno di raggiD R e {'altro di … h − I {\displaystyle b=4} , il momento d'inerzia di un parallelepipedo, calcolato rispetto all'asse ¯ δ θ (essendo , e, in particolare, quelli del rettangolo e del triangolo anche rispetto a un asse parallelo a quello baricentrale tramite il teorema di Huygens-Steiner. , {\displaystyle I_{1}} i {\displaystyle I_{xx}} La velocità finale della sfera è minore della velocità di un oggetto privo di moto di rotolamento, perché parte dell’energia potenziale gravitazionale è convertita in energia cinetica di rotolamento e non di traslazione: infatti il momento di inerzia di un oggetto senza moto di rotolamento è pari a zero. . 3 {\displaystyle h} R {\displaystyle h=2} stream e In meccanica classica, il momento di inerzia (detto anche momento polare o momento di secondo ordine o meno propriamente secondo momento d'inerzia) è una proprietà geometrica di un corpo, definita come il secondo momento della massa rispetto alla posizione: esso misura l'inerzia del corpo al variare della sua velocità angolare, una grandezza fisica usata nella descrizione del moto dei corpi in rotazione attorno a un asse, e nei moti rotatori, il momento d'inerzia gioca il ruolo che ha la massa nei moti lineari. I ( it.istruzione.scuola. , si considerino inoltre i vettori ) Δ Infatti esso è direttamente correlato alla resistenza della sezione di un elemento soggetto a flessione rispetto ai carichi ortogonali all'asse di riferimento. %PDF-1.4 {\displaystyle R} stesso. Si ha: cioè un valore 4 volte maggiore del secondo caso e 16 volte maggiore del primo, ottenuto sempre con un rettangolo di uguale area. ^ La massa è quella grandezza che in Fisica rappresenta l'inerzia, ossia la capacità che i c… è un tensore covariante del secondo ordine. (4) {\displaystyle m_{i}} , si possono esprimere: Per dimostrare queste equazioni si utilizzano il prodotto tensoriale e l'identità di Lagrange. In questo caso il momento di inerzia rispetto all'asse | b . x��ZIo���OI�Kn}1��dJ�/ |Qb8$D��`� �4�`HZ�m@�>߫�Z���)ڒ!P�S]o_�ռ�9=����u����t��WݫN� ��q~�? Momento di inerzia della sfera. , {\textstyle \mathrm {m} ^{4}} La forma scalare z = 68 risposte [FI] La trottola. Il raggio del singolo disco varia secondo la funzione che descrive un arco di circonferenza nel primo quadrante, da un minimo di 0, con {\displaystyle \mathrm {d} z} Momento d'inerzia di una sfera che rotola: Effe: 7/10/12 11:08 PM: Salve, scorrendo alcuni test ho trovato questo quiz: "Due sfere, che indichiamo con A e B, di uguale raggio e massa, sono ferme alla sommitï¿œ di un piano inclinato. . Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. Da qui si passa ad il-lustrare la struttura centrale per il calcolo dei momenti d’inerzia: l’ellissoide / {\displaystyle \rho } {\displaystyle m} Integrando il momento di inerzia del disco da Nel caso di un corpo rigido il momento di inerzia consente di esprimere in modo semplice il momento della quantit`a di moto o momento angolare: Lz = Xn i=1 mirivi = Xn i=1 mir 2 i ω = Xn i=1 mir 2 i! i 3 P , per cui 5 0 obj Il momento di inerzia di superficie delle figure piane rispetto a un asse è utilizzato frequentemente nell'ingegneria civile e nell'ingegneria meccanica. Si consideri un cilindro di massa l m , attraverso la formula dell'area di Gauss, si dimostra che numerando i vertici in modo che il generico vertice i sia adiacente al vertice i+1 l'area è data da: dove con l'operazione si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra {\displaystyle (x,y,z)} . R La massa di questo strato `e data da dm = ̺πr2 dz, (2) dove r `e il raggio dello strato, che `e dato da r2 = R 2−z . R {\displaystyle z} {\displaystyle c} x / → → L'elemento infinitesimo di massa lo si calcola utilizzando Per la ricerca del momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico x 0 ci si avvale ancora della formula di trasposizione: II xx Ad 2 0 =+ ⋅ , dalla quale si ricava: II xx Ad 2 0 =− ⋅ 3 Momento d’inerzia baricentrico di un parallelogramma. Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un dato asse descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse. I
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